TEORI PELUANG

TRANSFORMASI PEUBAH (VARIABEL) TIPE DISKRIT
Teknik perubahan variabel ialah suatu metode alternatif untuk menemukan distribusi dari satu atau lebih fungsi variabel acak. Disana ada pertanyaan sulit (dengan keterangan khusus untuk variabel acak tipe kontinu) yang dalam penyelesaiannya diperlukan bagian khusus yang utama.
Misal X adalah fungsi densitas (p.d.f) distribusi poison:

pada pengerjaan sebelumnya. Misal . Maka A adalah himpunan dimana . Definisi sebuah variabel acak Y oleh Y = 4X diharapkan dapat menemukan fungsi densitas (p.d.f ) Y dengan menggunakan teknik perubahan variabel.
Misal . Kami nyatakan sebagai transformasi dari x ke y dan kami juga nyatakan transformasi A diatas B dengan catatan . Himpunan B didapat dari transformasi setiap anggota A disesuaikan dengan .
Sehingga kami mempunyai 2 kesimpulan :
Setiap anggota A merupakan korespondensi satu dan hanya satu pada anggota B dan anggota B merupakan korespondensi satu dan hanya satu pada anggota A.
Transformasi adalah korespondensi satu-satu antara anggota A dengan anggota B. beberapa fungsi y=u(x) (tidak hanya ) dengan himpunan A (tidak hanya A) diatas himpunan B (tidak hanya B) sedemikian sehingga adanya korespondensi antara anggota A pada anggota B. Ini disebut transformasi satu-satu. Dengan catatan bahwa x adalah fungsi satu nilai dari y, sehinga memerlukan .
Permasalahan lain yaitu menemukan p.d.f g(y) dari variabel acak tipe diskrit Y= 4X. Jadi g(y) = Pr (Y = y). Karena disana ada korespondensi satu-satu antara anggota A pada anggota B, nilai Y = y atau 4X = y dapat terjadi ketika dan hanya ketika, nilai terjadi. Dua bentuk tersebut ekuivalen dan mempunyai probabilitas yang sama. Sehingga:
Misal X adalah variabel acak tipe diskrit yang mempunyai p.d.f. f(x) dan A merupakan himpunan anggota diskrit dengan f(x)>0 serta adalah definisi transformasi satu-satu sehingga himpunan A diatas B. jika untuk mencari penyelesaian untuk x bagian dari y kami nyatakan sehingga setiap , dan . Memperkirakan variabel acak . Jika sehingga dan kejadian atau dan merupakan ekuivalen. Kesimpulannya p.d.f (fungsi densitas) dari Y adalah

Contoh 1:
Misal X adalah fungsi densitas distribusi binomial.

Kami lihat fungsi densitas variabel acak g(y) . Transformasi dengan diatas . Pada umumnya, bukanlah definisi transformasi satu-satu, karena disana tidak ada nilai negatif dari x dalam . Dan karena mempunyai satu nilai fungsi invers maka:

Misal adalah gabungan dua fungsi densitas variabel acak tipe diskrit dan dengan A (dimensi dua) himpunan dari anggota . Misal dan definisi sebuah transformasi satu-satu dengan A diatas B. gabungan fungsi densitas dari varibel acak yang baru dan yaitu:

Dimana adalah satu nilai invers dari dan . Dari gabungan fungsi densitas ini menghasilkan fungsi densitas marginal dari Y1 dijumlahkan dengan Y2 atau sebaliknya.
Kesimpulan:
Teknik perubahan variabel dari variabel semula ke variabel baru dengan memperkirakan menjadi gabungan fungsi densitas dari dengan A himpunan dimana